Matematyka z Lewicą

10 tys. zł x 20 tys. gospodarstw = prawie 100 mln. zł

- patrzcie wydaliśmy na pomoc 100 mln zł
- to dlaczego zniknęło 200 mln zł z budżetu?
- PiS przez osiem ostatnich lat okradał państwo!

Możemy wziąć losowo liczbę od 0 do 1, a następnie ją spierwiastkować.
Albo możemy wziąć dwie takie losowe liczby, po czym wybrać z nich tę większą (wziąć maksimum z nich).
I okazuje się, że te dwie operacje, choć pozornie niezwiązane, są matematycznie równoważne! 
Czyli, że jeden pies (bynajmniej admina), czy weźmiemy pierwiastek z losowej liczby, czy maksimum z dwóch losowych liczb, to będziemy otrzymywać takie same wyniki (tzn. nowe liczby z tym samym prawdopodobieństwem).

Jeśli znalazła się chociaż jedna osoba, która uznała to, tak jak ja, za bardzo ciekawe i niezwykle nieintuicyjne, to teraz krótko wyjaśnię o co chodzi.
Mówimy o losowej liczbie rzeczywistej z przedziału od 0 do 1 (w takim sensie, że są one losowane jednostajnie, to znaczy równomiernie, każda liczba „z tym samym prawdopodobieństwem”). Jeśli ktoś kiedyś chociaż trochę dotknął programowania to może pomyśleć o takiej klasycznej wartości zwracanej przez rand().

Weźmy 0.76534. Teraz możemy coś z nią zrobić, na przykład tak dla jaj podnieść do kwadratu: (0.76534)² = 0.5857453156.
No i mamy nową liczbę. A skoro wartość naszej początkowej liczby wzięliśmy losowo, to wynik po podniesieniu do kwadratu też jest jakoś losowy. Możemy łatwo zaobserwować, że liczby od 0 do 1 po podniesieniu do kwadratu stają się mniejsze. Z tego wyciągamy wniosek, iż bardziej prawdopodobne jest, że nasza liczba, po tej operacji, znajduje się bliżej zera niż jedynki.

Zobaczmy wykres, mamy tutaj gęstość 10 milionów liczb wygenerowanych z pomocą Pythona.

A tutaj gęstość tych samych liczb podniesionych do kwadratu.

Mówiąc bardziej matematycznie, to wzięliśmy zmienną losową X z rozkładem jednostajnym [0,1], stworzyliśmy funkcję Y = X² i zobaczyliśmy, że Y ma inny rozkład.

No to teraz to co najważniejsze, analogicznie gęstość wyników funkcji W = sqrt(X) oraz Z = max(X₁,X₂).

Absurd. Rozkłady obu tych funkcji są identyczne.

Ale jako, że mogę pierdolić głupoty to poniżej dowód. Pewnie to już mało kogo interesuje i przestanie w tym miejscu czytać to tylko zaznaczę jeszcze jedną rzecz. 
Wylosowanie konkretnej liczby rzeczywistej, np. 0.2137, z przedziału [0,1] jest niemożliwe. Prawdopodobieństwo jest równe zero, ponieważ na tym przedziale istnieje nieskończenie wiele liczb rzeczywistych. (Co swoją drogą też jest ciekawym tematem bo liczb na przedziale [0,1] jest więcej niż wszystkich liczb naturalnych, to dwie różne nieskończoności). Komputer nas nieco oszukuje, możemy rozważać jedynie szanse wylosowania liczby z konkretnego przedziału, np. [0.20 , 0.35] i będzie to równe 15%. Dlatego wcześniej pisałem w cudzysłowie, a te wykresy wyżej to właśnie są takie malutkie przedziały do których wpadały losowane liczby.

A no i jeszcze ktoś może zapytać: A po co to komu? Albo do czego to można użyć? No więc tak w sumie to do niczego xd. Jest to po prostu jedno z tych ciekawych matematycznych zjawisk, które wydaje się nielogiczne ale okazuje się prawdą. No może nie tak totalnie bezużyteczne, bo autor filmu, którego link na dole, zauważył, że jeśli chcemy sobie rozegrać partię Dungeons & Dragons ale przypadkowo zgubimy wszystkie sześcienne kostki w domu, za to akurat będziemy mieli przy sobie 36-ścienną kostkę to pierwiastek z jej rzutu zastąpi nam klasyczny podwójny rzut D&D XD.

Pierwszy dowód, bardziej graficzny.
Żeby zrozumieć jak zachowuje się maksimum można rozważyć prostszy przykład z kostkami sześciennymi. Jak rzucamy dwiema kostkami to mamy 36 kombinacji jak poniżej. Jak teraz zaznaczymy tym samym kolorem pary, które mają to samo maksimum, to zobaczymy, że to kolejne fragmenty powiększającego się kwadratu. A maksimum równe konkretnej wartości to taki pojedynczy pasek. Swoją drogą jak bloczki tego samego koloru ułożymy jeden na drugi to otrzymamy ten trójkątny rosnący kształt.

Teraz możemy to przenieść na płaszczyznę ciągłą, gdzie zamiast kostki mamy pojedynczy punkt (x,y). Wtedy max(x,y) jest równe konkretnej wartości, np. D, gdy (x,y) leży na takim pasku. 
Co jest dosyć intuicyjne, bo aby max(x,y) = D to albo x = D a wtedy y może się dowolnie przesuwać w dół, albo y = D a wtedy x może się dowolnie przesuwać w lewo.

Żeby móc to jakoś porównać to rozważmy nierówność. Kiedy max(x,y) ≤ D ? A no wtedy, gdy punkt będzie znajdował się w takim kwadracie.

Co sprowadza się do tego, że prawdopodobieństwo 
P(max(x,y) ≤ D) = D².
To teraz weźmy pierwiastek, czyli mamy sqrt(X) ≤ D, podnieśmy obie strony do kwadratu i mamy X ≤ D². Teraz ile wynosi P( X ≤ D²) ? Przypominam, że X to był rozkład jednostajny. To może nie być dla każdego oczywiste ale prawdopodobieństwo, że losowa liczba z [0,1] będzie mniejsza od 0.5 wynosi 50% (no bo lewa połowa stanowi no połowę xd). Że będzie mniejsza od 0.35 no 35% (czyli 0.35). No i ogólnie szansa, że będzie należała do [0,a] wynosi a, czyli P(X≤a)=a. Co daje P(X ≤ D²) = D².
Więc mamy:
P(max(X₁,X₂) ≤ D) = D²
P(sqrt(X) ≤ D) = P(X ≤ D²) =  D²
Czyli:
P(max(X₁,X₂) ≤ D) = P(sqrt(X) ≤ D), co kończy dowód.

Drugi dowód, dużo prostszy ale wymaga znajomości paru narzędzi probabilistycznych.

I to wszystko działa też na wyższe wymiary.
Maksimum z trzech liczb da nam sześcian zamiast kwadratu (D³).
I będzie równoważne pierwiastkowi 3 stopnia.
W ogólności maksimum z n liczb będzie równoważne pierwiastkowi n-tego stopnia.

Link do filmu, z którego się o tym dowiedziałem:
https://www.youtube.com/watch?v=ga9Qk38FaHM

Jakby ktoś się zastanawiał po co marnuje czas pisząc takie pierdoły na dzidzie. To fragment mojego pewnego prywatnego projektu. A że temat dosyć prosty do zrozumienia i dla mnie fascynujący to uznałem, że to lekko przerobię i się tu podzielę.

A tu wrzutka o ciekawostce statystycznej:
https://jbzd.com.pl/obr/3772844/ciekawostka-statystyczna