Wielu z was mówi o tym, że liczb naturalnych i całkowitych jest tyle samo, ale że liczb rzeczywistych jest więcej niż liczb naturalnych, mimo że jednych i drugich jest nieskończenie wiele. Czyli że są jakieś różne nieskończoności. I generalnie macie rację, ale pewnie niewiele osób wie, z czego to wynika. W moim dzisiejszym wysrywie postaram się pokazać, o chuj właściwie chodzi z tą magiczną nieskończonością.
Od razu uprzedzam wszystkich matematycznych purystów, że nie będzie to napisane ściśle. Powiem więcej, w dalszej części zamierzam używać niezawodnej metody machania rękami i chłopskiego rozumu, tak żeby nawet dzidowiec, który nie miał w ręku matematyki od 10 lat, był w stanie to przeczytać.
No to zacznijmy może od tego, że w matmie praktycznie wszystko jest zbiorem i na zbiorach mamy budowaną całą teorię. Jak się można domyślać, w takim zbiorze (mogą, choć nie muszą) znajdować się jakieś elementy. No i te elementy możemy sobie liczyć, nie jest to jakieś spektakularne odkrycie. Żeby stwierdzić, że dwa zbiory mają tę samą liczbę elementów, możemy oczywiście policzyć ilość elementów jednego zbioru i drugiego, potem sprawdzić, czy jest tyle samo. Jak się zgadza, to fajnie, a jak nie, to chuj.
Problem zaczyna się, gdy zbiory są nieskończone. Wtedy ciężko jest policzyć wszystkie elementy, bo nie umiemy liczyć do nieskończoności. Przykładów nieskończonych zbiorów jest w chuj dużo (liczby naturalne, rzeczywiste, całkowite, zespolone, pierwsze itd.), więc jak można stwierdzić, że ilość elementów jednego zbioru jest taka sama jak ilość elementów drugiego? Dobrym pomysłem jest dobranie tych elementów w pary, czyli jednemu elementowi ze zbioru A przyporządkowujemy dokładnie jeden element ze zbioru B. Fachowo w matematyce mówi się, że szukamy bijekcji pomiędzy zbiorami (czyli funkcji, która jest ‘różnowartościowa’ i ‘na’), ale nie jest to ważne i chuj w to. Ważne jest to, że nie musimy liczyć, wystarczy tylko dobrać w pary elementy i jest git.
Generalnie w matematyce mamy coś takiego jak moc zbioru, czyli taką uogólnioną liczebność na zbiory skończone i nieskończone. Od teraz będę pisał, że zbiory A i B mają taką samą moc, jeśli jesteśmy w stanie dobrać wszystkie ich elementy w pary.
Skoro mniej więcej wiadomo, o czym piszę, to pokażę teraz, że te wszystkie wysrywy ludzi, że liczby całkowite i naturalne mają taką samą moc, są prawdziwe. Na bazie tego, co napisałem wcześniej, wystarczy dobrać w pary elementy ze zbioru liczb naturalnych i całkowitych, i sprawa załatwiona.
Tutaj jest dobry moment, żeby samemu się zastanowić, jak to zrobić. Skoro doczytałeś do tego momentu, być może jesteś chociaż minimalnie zainteresowany tematem.
Jeśli się udało, to fajnie, a jak nie, to trudno.
Odpowiedzią jest wzór, który znajduje się poniżej. Wiem, że może wyglądać trochę nieprzystępnie, ale nic na to nie poradzę. Jak coś, te nawiasy to część całkowita liczby (do poczytania na wiki). Pokażę jeszcze tabelkę z kilkoma pierwszymi argumentami i wartościami tej funkcji, a jeśli komuś to nie wystarczy, to bardzo dobrze. Niech taki ktoś napisze sobie na kartce papieru więcej liczb naturalnych, pod nimi liczby całkowite i zgodnie ze wzorem będzie łączył w pary, żeby zobaczyć ogólną metodę działania.
Jawnego wzoru nie podam, mógłbym to zrobić, ale idę o zakład, że nikomu ( w tym mi ) nic on nie powie. Pokażę bardziej pomysł, na którym bazuje takie dobieranie w pary.
Obrazek ten nie oddaje dokładnie doboru w parę, jednak przedstawia intuicję. Pokazuję go, bo to jedyna rzecz, którą mogłem ukraść z internetu, a samemu nie chce mi się tego rysować.
Pomysł jest taki: W takiej dwuwymiarowej tablicy wpisujemy wszystkie liczby wymierne, gdzie na przykład numer wiersza odpowiada mianownikowi, a numer kolumny odpowiada licznikowi. Później poruszamy się takim wężykiem przez wszystkie liczby, odwiedzając je wszystkie tylko raz. W ten sposób łatwo ułożyliśmy wszystkie liczby wymierne w nieskończony ciąg, który można ponumerować liczbami naturalnymi, co pozwala nam dobrać w pary wszystkie liczby wymierne z liczbami naturalnymi. Co więcej, bardziej uważni mogą zauważyć, że liczby takie jak 1/1 i 2/2 są sobie równe, więc nie możemy mówić tutaj o funkcji. Formalnie nasze rozumowanie nie działa, jednak możemy po prostu usunąć wszystkie powtórzenia danej liczby, na przykład 2/2, 3/3, 4/4... i teraz wszystko śmiga.
Do tej pory udało mi się pokazać, że liczby naturalne, całkowite i wymierne w sensie liczności są takie same. Co więc robimy z liczbami rzeczywistymi?
Tutaj jest trochę trudniej. Pokażę wam dowód nie wprost, czyli generalnie coś sobie założę, a później logicznie rozumując dojdę do sprzeczności. To będzie oznaczało, że zaprzeczenie pierwszego założenia jest prawdziwe. Tutaj musicie na wiarę przyjąć, że to faktycznie tak działa, ale jeśli ktoś nie wierzy, to bardzo dobrze wtedy zapraszam poczytać na wiki.
Dla uproszczenia będę pracował z liczbami naturalnymi, a zamiast liczb rzeczywistych wezmę sobie przedział liczbowy [0,1]. Tutaj znowu musicie mi uwierzyć, że są na to odpowiednie twierdzenia pokazujące, że zbiór liczb rzeczywistych i przedział [0,1] są równoliczne, ale nie chcę pisać całego elaboratu na ten temat.
Wracając do tematu, zakładam, że wszystkie liczby z przedziału [0,1] można ponumerować liczbami naturalnymi. Poglądowo sytuacja wygląda jak na obrazku poniżej.
Teraz spróbuję skonstruować liczbę, która na pewno nie ma swojej pary wśród liczb naturalnych.
Skorzystam z następującej zasady: W pierwszym przypisaniu pierwsza cyfra po przecinku zostanie zwiększona o 1, jeśli jest równa dziewięć, zostanie zmieniona na zero. W drugim przypisaniu druga cyfra po przecinku zostanie zwiększona o 1, jeśli jest równa dziewięć, zostanie zmieniona na zero. W trzecim przypisaniu trzecia cyfra po przecinku zostanie zwiększona o 1, jeśli jest równa dziewięć, zostanie zmieniona na zero. I tak dalej, mam nadzieję, że widać ideę.
Rezultatem naszej konstrukcji jest liczba, która różni się od każdej z liczb po prawej stronie przynajmniej jedną „współrzędną”. W rezultacie nasze założenie, że byliśmy w stanie ponumerować wszystkie liczby z przedziału [0,1], było błędne. To oznacza, że liczba liczb w przedziale [0,1] jest większa niż liczba wszystkich liczb naturalnych, więc te zbiory nie są równoliczne.
Pokazaliśmy zatem, że ilość liczb z przedziału [0,1], a co za tym idzie liczb rzeczywistych, jest „większa” niż ilość liczb naturalnych, mimo że oba zbiory są nieskończone.
Od teraz oficjalnie możecie chwalić się przy piwie, że jesteście matematycznymi nerdami. Jeśli ktoś nie zrozumiał moich ostatnich argumentów to polecam wrzucić w google hasło "metoda przekątniowa Cantor". Może napiszę jakąś kontynuację na podobny temat, jeśli jakimś cudem wytrzeźwieję. Na zdrowie!
PS. Raz zaczynam liczby naturale od 0 raz od 1, jeśli chodzi o liczność tych zbiorów to jeden chuj, możecie sami sobie poszukać sposobu dobierania w pary.
